تمارين (3-6)

(1)- إذا كانت المساحة الكلية المتوازي المستطيلات = ومساحة قاعدته = ومساحة أحد أوجهه الجانبية = جد أبعاده وحجمه.

المعطيات:

• متوازي المستطيلات.
• مساحته الكلية = ، ومساحة أحد أوجهه الأربعة = ومساحة القاعدة =

المطلوب إثباته: إيجاد أبعاده وحجمه

البرهان:

• = طول قاعدة متوازي المستطيلات.
• = عرض قاعدته.
• = ارتفاعه.

المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات = المساحة الجانبية + (2) (مساحة القاعدة).

حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع =

(2)- أسطوانة دائرية قائمة مساحتها الجانبية وحجمها أوجد ارتفاعها ونصف قطر قاعدتها.

• المعطيات: المساحة الجانبية = ، الحجم =
• المطلوب إثباته: إيجاد نصف قطر ، الارتفاع
• البرهان: حجم الاسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع.

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع.

(3)- برهن على أن حجم ذو الوجوه الأربعة المنتظم والذي طول حرفه = هو وحدة مكعبة.

المعطيات: ذو الوجوه الأربعة المنتظم طول كل حرف من أحرفه =

المطلوب إثباته:

البرهان: نرسم وتلتقي في .

• (المستوي الواحد يمكن رسم مستقيم وحيد عمودي على مستقيم معلوم من نقطة معلومة).
• ينصف زاوية .
• ينصف زاوية (العمود النازل من رأس مثلث متساوي الساقين على القاعدة ينصفها وينصف زاوية الرأس).
• لتكن منتصفات الأعمدة (الأعمدة المنصفة لأضلاع مثلث متساوي الساقين تلتقي في نقطة واحدة).
• (يمكن رسم مستقيم وحيد على مستو معلوم من نقطة معلومة).
• (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي).

في القائم الزاوية في :

في القائم الزاوية في وحسب مبرهنة فيثاغورس:

مساحة القاعدة المثلثة متساوية الأضلاع =

حجم الهرم = مساحة القاعدة × الارتفاع.

ملاحظة: مساحة قاعدة الهرم = مساحة مثلث متساوي الأضلاع = حيث طول الحرف للهرم.

(4)- مخروط دائري قائم مر برأسه مستوي فقطع قاعدته بقطعة مستقيم تبعد عن مركز القاعدة بمقدار فإذا كانت مساحة القطع = وارتفاعه .

احسب حجمه ومساحته الجانبية ومساحته الكلية.

المعطيات:

• مخروط دائري قائم مركزه قطعه المستوى بحيث
• مساحة المقطع ، ارتفاع المخروط =

المطلوب إثباته: إيجاد حجم المخروط ومساحته الجانبية والسطحية.

البرهان: نرسم الدائرة BC محتوى في الدائرة، معطى.

• (مبرهنة الأعمدة الثلاثة).
• (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره).
• في المثلث القائم الزاوية في (المستقيم العمودي على مستوي يكون عمودياً على جميع المستقيمات المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي).
• في المثلث القائم الزاوية في (وحسب مبرهنة فيثاغورس).
• مساحة (المقطع) المثلث = × القاعدة × الارتفاع.
• في المثلث القائم الزاوية في (وحسب مبرهنة فيثاغورس).
• اي أن نصف قطر قاعدة المخروط =
• في المثلث القائم الزاوية في (وحسب مبرهنة فيثاغورس).
• حيث يمثل الضلع طول الحرف الجانبي (المولد) للمخروط.
• المساحة الجانبية للمخروط = محيط القاعدة × طول المولد.
• المساحة الكلية للمخروط = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة.
• حجم المخروط = مساحة القاعدة × الارتفاع.

(5)- إذا علمت أن يمكن رسم كرة خارج ذي الوجود الأربعة المنتظم برهن أن نصف قطر الكرة = الارتفاع.

المعطيات:

• هرم ذو الوجود الأربعة مرسوم داخل دائرة مركزها ونصف قطرها
• رسمت الكرة التي مركزها خارج ذي الوجوه الأربعة المنتظم.

المطلوب إثباته:

البرهان: نرسم (يمكن رسم مستقيم وحيد عمودي على مستو معلوم من نقطة معلومة).

نصل أصبحت لدينا الأهرامات التي رؤوسها وقواعدها المتساوية بالمساحة هي:

(الوجوه الأربعة في ذي الوجوه الأربعة تكون متساوية).

قسم الهرم الأصلي إلى أربع أهرامات من ذي الوجود الأربعة متساوية بالحجم وهي:

(يتساوى حجما شكلين إذا تطابقت قاعدتيهما وتساوي ارتفاعها)

حجم الهرم الأصلي = 4 × حجم الهرم الصغير

حجم الهرم الكبير = 4 ×